Bölünebilme Kuralları Örnek Sorular ve Çözümleri

Bölünebilme Kuralları Sınav Tipi Problemler

Soru 1: 5 ve 3 ile Bölünebilme

Dört basamaklı 5A2B sayısı, 5 ile tam bölünebilen bir çift sayıdır.

Bu sayı aynı zamanda 3 ile de tam bölünebildiğine göre, A’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. 5 ve 2 ile Bölünebilme Kuralı (B’yi Bulma):

   • Sayı 5 ile tam bölündüğü için B rakamı 0 veya 5 olmalıdır.

   • Sayı aynı zamanda çift olduğu için B mecburen 0 olmalıdır.

   • Yeni sayımız: 5A20.

2. 3 ile Bölünebilme Kuralı (A’yı Bulma):

   • Sayının 3 ile tam bölünmesi için rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.

   • Rakamlar toplamı: 5 + A + 2 + 0 = 7 + A.

   • 7 + A = 3k olmalıdır. (k bir tam sayı)

   • A bir rakam olduğu için (0 \leq A \leq 9):

     • A=2 için 7+2=9 (3’ün katı)

     • A=5 için 7+5=12 (3’ün katı)

     • A=8 için 7+8=15 (3’ün katı)

3. Sonuç:

   • A‘nın alabileceği değerler: \{2, 5, 8\}

   • A‘nın alabileceği değerler toplamı: 2 + 5 + 8 = 15.

Soru 2: 9 ve 4 ile Bölünebilme

Beş basamaklı 3A45B sayısı, 4 ve 9 ile tam bölünebilmektedir.

Buna göre A rakamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. 4 ile Bölünebilme Kuralı (B’yi Bulma):

   • Sayının son iki basamağı (5B) 4’ün katı olmalıdır.

   • 5B sayısı 50, 51, \dots, 59 aralığındadır. Bu aralıkta 4’ün katı olan sayılar: 52 ve 56.

   • Yani B rakamı 2 veya 6 olabilir.

2. 9 ile Bölünebilme Kuralı (A’yı Bulma ve En Büyüğü Seçme):

   • Durum 1: B=2

     • Sayı: 3A452. Rakamlar toplamı: 3 + A + 4 + 5 + 2 = 14 + A.

     • 14 + A = 9k olmalıdır.

     • A=4 için 14+4=18 (9’un katı).

   • Durum 2: B=6

     • Sayı: 3A456. Rakamlar toplamı: 3 + A + 4 + 5 + 6 = 18 + A.

     • 18 + A = 9k olmalıdır.

     • A=0 için 18+0=18 (9’un katı).

     • A=9 için 18+9=27 (9’un katı).

3. Sonuç:

   • A‘nın alabileceği değerler: \{4, 0, 9\}

   • A‘nın alabileceği en büyük değer 9‘dur.

Soru 3: 11 ile Bölünebilme

Dört basamaklı 5x3y sayısının 11 ile bölümünden kalan 2’dir.

y rakamı, x rakamından 4 fazla olduğuna göre (y = x + 4), x kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. 11 ile Bölünebilme Kuralı (İşaretleme):

   • 5 \quad x \quad 3 \quad y

   • - \quad + \quad - \quad +

   • İşaretli rakamlar toplamı: y – 3 + x – 5 = (x + y) – 8.

2. Kalanı Uygulama:

   • Sayının 11 ile bölümünden kalan 2 ise, işaretli toplam 11k + 2 olmalıdır.

   • (x + y) – 8 = 11k + 2
   • x + y = 11k + 10

3. Verilen İlişkiyi Kullanma:

   • Soruda y = x + 4 verilmiş. Bu ifadeyi yukarıdaki denklemde yerine koyalım.

   • x + (x + 4) = 11k + 10
   • 2x + 4 = 11k + 10
   • 2x = 11k + 6

4. x Rakamını Bulma:

   • x bir rakam olduğu için 0 \leq x \leq 9 olmalıdır.

   • k=0 için: 2x = 11(0) + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3. (Bu durumda y = 3+4=7. x ve y rakamdır, şart sağlanır.)

   • k=1 için: 2x = 11(1) + 6 \implies 2x = 17. 17 çift olmadığı için x tam sayı olamaz.

   • k=2 ve sonrası için x, 9‘dan büyük çıkar.

5. Sonuç:

   • x rakamı 3‘tür.

Soru 4: 12 ile Bölünebilme

Dört basamaklı 6A5B sayısının 12 ile tam bölünebilmesi için A‘nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm Adımları:

1. 12 ile Bölünebilme Kuralı:

   • Sayı hem 3‘e hem de 4‘e tam bölünmelidir. (Çünkü 12 = 3 \times 4 ve 3 ile 4 aralarında asaldır.)

2. 4 ile Bölünebilme (B’yi Bulma):

   • Sayının son iki basamağı (5B) 4’ün katı olmalıdır.

   • 5B olabilecek değerler: 52 ve 56.

   • Yani B rakamı 2 veya 6 olabilir.

3. 3 ile Bölünebilme (A’yı Bulma):

   • Rakamlar toplamı (6+A+5+B) 3’ün katı olmalıdır. \implies 11 + A + B = 3k.

   • Durum 1: B=2

     • 11 + A + 2 = 3k \implies 13 + A = 3k.

     • A değerleri: 13+A‘nın 3’ün katı olması için A=2, 5, 8.

   • Durum 2: B=6

     • 11 + A + 6 = 3k \implies 17 + A = 3k.

     • A değerleri: 17+A‘nın 3’ün katı olması için A=1, 4, 7.

4. Sonuç:

   • A‘nın alabileceği tüm değerler kümesi: \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}

   • A‘nın alabileceği 6 farklı değer vardır.

Soru 5: Kalanlı Bölme Problemi

Beş basamaklı 56A3B sayısının 10 ile bölümünden kalan 4’tür.

Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre, A kaçtır?

Çözüm Adımları:

1. 10 ile Bölümden Kalan Kuralı (B’yi Bulma):

   • Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır.

   • Kalan 4 ise, B rakamı 4 olmalıdır.

   • Yeni sayımız: 56A34.

2. 9 ile Bölünebilme Kuralı (A’yı Bulma):

   • Sayının 9 ile tam bölünmesi için rakamları toplamı 9’un katı olmalıdır.

   • Rakamlar toplamı: 5 + 6 + A + 3 + 4 = 18 + A.

   • 18 + A = 9k olmalıdır.

   • A bir rakam olduğu için:

     • A=0 için 18+0=18 (9’un katı)

     • A=9 için 18+9=27 (9’un katı)

3. Koşul Kontrolü:

   • A, 56A3B sayısının ortasında bir rakamdır. Her iki değer de mümkündür.

   • Soruda A‘nın alabileceği değerler toplamı değil, A kaçtır diye sorulmuş (tek bir değer bekleniyor olabilir, veya soru tek bir değere işaret ediyordur). Eğer problemde A için tek bir değer bekleniyorsa, problem eksik bilgi içeriyor demektir. Ancak, standart test mantığında genellikle en az bir koşul daha istenir.

   • Eğer soru, A rakamının alabileceği farklı değerleri soruyorsa, cevap {0,9} olacaktır.

   • Eğer soru metninde başka bir koşul yoksa ve tek bir cevap bekleniyorsa, genellikle 0 ve 9 seçeneklerde yer alır.

   • Sınav tipi bir sorunun net bir cevabı olması beklendiği varsayımıyla (ve ek kısıtlama olmadığı için), seçeneklerde tek bir sayı olması beklenir. Ancak elimizdeki bilgilere göre A hem 0 hem de 9 olabilir. Bu durumda, her iki değer de sorunun cevabıdır.

   • A‘nın alabileceği değerler: 0 ve 9.

“Bölünebilme Kuralları” konu anlatımı ve soru çözümleri