İç İçe Kökler Konu Anlatımı

Bu dersimizin konusu iç içe kökler. Kök içerisinde köklü sayı bulunuyorsa ne yapmamız gerektiğini öğreneceğiz. Bu ders KPSS, DGS, ALES, YKS, MSÜ sınavlarına yöneliktir.

Daha önceki derslerimizde:

Köklü Sayılar
Köklü Sayılarda Dört İşlem
Köklü Sayılarda Eşlenik 

konularını işlemiştik. Köklü sayılar konusunda yeterince bilginiz yoksa bu ders notlarımıza bakabilirsiniz.

Özellik 1: İki kök arasında başka bir ifade yoksa kök dereceleri çarpılır ve tek kök olarak yazılır.
Örnek: \sqrt[x] {\sqrt[y]{a}}=\sqrt[x.y] {a}
\sqrt[3] {\sqrt[2]{5}}=\sqrt[6] {5}

Özellik 2: Kök dereceleri farklı ve kökler arasında çarpım durumunda bir sayı var ise:

Örnek: \sqrt[x] {a.\sqrt[y] {b.\sqrt[z] {c}}} şeklinde verilen bir köklü ifade olsun
=\sqrt[x] {\sqrt[y] {a^{y}.b. \sqrt[z] {c}}} çarpım durumunda olduğu için öncelikle a sayısını katsayısı olduğu kendinden sonraki kökün içerisine kökün derecesini (y) üs olarak yazıyoruz.
=\sqrt[x] {\sqrt[y] { \sqrt[z]{a^{y.z}.b^{z}. c}}} burada a^y ve b sayılarını üsleriyle birlikte kendisinden sonra gelen kökün içerisine kökün derecesi a ve b sayılarına üs olarak yazıyoruz.
=\sqrt[x.y.z] {a^{y.z}.b^{z}. c} son olarak 1. özelliği kullanarak, köklerin derecelerini çarpıp tek kök halinde yazdık.

Özellik 3: Belli sayıda aynı derecede çarpım durumdaki iç içe köklü ifade varsa:

Örnek: n tane olacak şekilde \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a...}}}=\sqrt[2^n]{a^{2^n-1}} olur.

Özellik 4: Sonsuz sayıda aynı dereceli iç içe köklü ifade varsa:

Örnek: Çarpım durumu
\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a...}}} sonsuza kadar devam ediyorsa
\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a...}}}=x diyebiliriz. En dıştaki kökü kapattığımızda sonsuza kadar devam ettiği için sayımızın değeri yine x olur. O halde x değerini götürüp yerine yazalım.
\sqrt[n]{a.x}=x ifadesi elde edilir. Kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının n. dereceden kuvvetini alalım
\sqrt[n]{a.x}^n=x^n ve sonuç olarak
a.x=x^n elde edilir.

Örnek: Toplam durumunu
\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a...}}} sonsuza kadar devam ediyorsa
\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a+\sqrt[n]{a...}}}=x diyebiliriz. En dıştaki kökü kapattığımızda sonsuza kadar devam ettiği için sayımızın değeri yine x olur. O halde x değerini götürüp yerine yazalım.
\sqrt[n]{a+x}=x ifadesi elde edilir. Kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının n. dereceden kuvvetini alalım
\sqrt[n]{a+x}^n=x^n ve sonuç olarak
a+x=x^n elde edilir.

Çıkarma ve bölme işlemleri de benzer şekilde yapılabilir. Daha fazla özellik, püf noktaları ve örnek soruları çözdüğümüz dersimizi izleyebilirsiniz.