İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri Soru Çözümü Nasıl Yapılır
Karşımızda biri çember, diğeri doğru belirten iki denklem var. Bu sistemi çözmek demek, bu doğrunun çemberi nerede kestiğini (veya teğet mi geçtiğini) bulmak demek.
Hadi, adım adım gidelim ve bu “matematiksel düğümü” beraber çözelim.
Soru:
\begin{cases}x^{2}-\left( y-1\right) ^{2}=100\\ -8x+6\left( y-1\right) =100\end{cases}
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
1. Adım: Değişken Değiştirme (İşimizi Kolaylaştıralım)
Her iki denklemde de ortak olan bir ifade var: (y – 1). İşlem kalabalığından kurtulmak için geçici olarak bir harf atayalım:
-
u = x olsun.
-
v = y – 1 olsun.
Yeni sistemimiz şöyle olur:
-
u^2 + v^2 = 100
-
-8u + 6v = 100
2. Adım: Yerine Koyma Metodu
İkinci denklemden v‘yi çekip birinci denklemde yerine yazalım.
Şimdi bunu u^2 + v^2 = 100 denklemine yerleştirelim:
Paydadan kurtulmak için her tarafı 9 ile çarpalım:
3. Adım: Denklemi Çözme
İşlemi sadeleştirmek için her tarafı 25‘e bölelim:
Bu ifade sana tanıdık geldi mi? Bu bir tam kare ifadedir!
Buradan tek bir çözüm gelir: u = -8.
Öğretmen Notu: Delta (\Delta) sıfıra eşit çıktığı için bu doğru, çembere teğettir. Yani sadece bir kesişim noktamız olacak.
4. Adım: Asıl Koordinatları Bulma
Şimdi bulduğumuz u değerini kullanarak v‘yi, sonra da x ve y değerlerini bulalım.
-
u = -8 ise x = -8 olur.
-
v = \frac{4(-8) + 50}{3} = \frac{-32 + 50}{3} = \frac{18}{3} = 6
-
v = 6 olduğuna göre; y - 1 = 6 \implies y = 7 olur.
Çözüm Kümesi
Sistemimizin tek bir ortak noktası vardır:
Doğruluğunu teyit edelim:
-
Birinci denklem: (-8)^2 + (7-1)^2 = 64 + 36 = 100 (Doğru!)
-
İkinci denklem: -8(-8) + 6(7-1) = 64 + 36 = 100 (Doğru!)