Diziler Konu Anlatımı ve Çalışma Soruları

Diziler, aslında belirli bir kurala göre sıralanmış sayı listeleridir. Fonksiyonlarla olan akrabalığı sayesinde mantığını kavramak oldukça kolaydır.

İşte diziler konusunun kapsamlı bir özeti:

1. Dizi Kavramı ve Tanımı

Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için en temel şart, tanım kümesinin Pozitif Tam Sayılar (Z^+) olmasıdır. Yani bir dizide “0. terim” veya “-2. terim” diye bir şey yoktur; dizi her zaman 1. terimden (a_1) başlar.

• Genel Terim (a_n): Bir dizinin kuralını belirten ifadedir. $n$ yerine yazdığımız her pozitif tam sayı, bize o sıradaki terimi verir.

• Önemli Uyarı: Eğer bir ifadeyi tanımsız yapan bir n pozitif tam sayısı varsa (örneğin paydayı sıfır yapıyorsa), o ifade bir dizi belirtmez.

2. Aritmetik Diziler

Ardışık her iki terimi arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabite “ortak fark” denir ve genellikle d (veya r) ile gösterilir.

Temel Özellikler

• Genel Terim Formülü:

  a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

• Herhangi İki Terim Arasındaki İlişki:

  a_n = a_p + (n-p) \cdot d

• Aritmetik Orta: Bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir.

  a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}

3. Geometrik Diziler

Ardışık her iki terimi arasındaki oranın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabite “ortak çarpan” denir ve r ile gösterilir.

Temel Özellikler

• Genel Terim Formülü:

  a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

• Herhangi İki Terim Arasındaki İlişki:

  a_n = a_p \cdot r^{n-p}

• Geometrik Orta: Bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımına eşittir.

  a_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}

4. İlk n Terim Toplamı (S_n)

Bir dizinin ilk n teriminin toplamı S_n ile gösterilir.

Ardışık Sayılar konusuna bakmanı tavsiye ederim.

5. Özel Diziler

Sınavlarda karşımıza çıkan bazı özel yapılar şunlardır:

• Sabit Dizi: Bütün terimleri birbirine eşit olan dizidir. (a_1 = a_2 = a_3 = ...)

• Eşit Diziler: Her n için a_n = b_n olan dizilerdir.

• Fibonacci Dizisi: İlk iki terimi 1 olan ve her terimin kendinden önceki iki terimin toplamı şeklinde ilerlediği dizidir.

  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Küçük Bir İpucu

Dizilerde karşınıza çıkan “bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi” sorularında terimleri x-d, x, x+d şeklinde seçerseniz, toplama işlemlerinde d‘ler birbirini götüreceği için sonuca çok daha hızlı ulaşırsınız.

Soru: Bir (a_n) dizisinin genel terimi a_n = \frac{2n + 10}{n + 1} olarak veriliyor. Bu dizinin kaçıncı terimi 3’e eşittir?

Bulduğunuz sonucu yorumlara yazabilirsiniz…

Örnek Sorular İndir