Mantık Konu Anlatımı
Mantık, matematiğin anayasasıdır. Diğer tüm konular (kümeler, denklemler, fonksiyonlar) bu temel üzerine inşa edilir. YKS, KPSS ve ALES’te genellikle “bileşik önermeler” ve “niceleyiciler” üzerinden soru gelir.
Hadi, bir matematik öğretmeni gözüyle konuyu en temelden, mantık süzgecinden geçirerek inceleyelim.
1. Önerme Nedir? (Doğru mu, Yanlış mı?)
Her cümle bir önerme değildir. Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin bir hüküm bildirmesi ve doğru ya da yanlış olarak değer alabilmesi gerekir.
-
Önermedir: “7 tek sayıdır.” (Doğru bir önerme, değeri 1)
-
Önermedir: “Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur.” (Yanlış bir önerme, değeri 0)
-
Önerme Değildir: “Bugün nasılsın?”, “Lütfen kapıyı kapat.”, “Matematik çok zevkli.” (Kişisel görüş veya soru cümleleri hüküm bildirmez.)
2. Bileşik Önermeler (Bağlaçlar)
Sınavlarda asıl puan getiren kısım burasıdır. İki veya daha fazla önermeyi birbirine bağlayan “ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak” bağlaçlarını bir tablo gibi zihnimize kazımalıyız.
| Bağlaç | Sembol | Mantık (Öğretmen Notu) |
| Ve | \wedge | Çarpma gibidir. Her iki önerme de 1 ise sonuç 1 olur. Bir tane bile 0 varsa sonuç 0’dır. |
| Veya | \vee | Toplama gibidir. En az bir tane 1 olması sonucu 1 yapmaya yeter. |
| Ya Da | \underline{\vee} | Farklılık sever. Önermeler birbirinden farklıysa (biri 1, diğeri 0) sonuç 1 olur. |
| İse | \Rightarrow | 100 kuralı meşhurdur. Sadece 1 \Rightarrow 0 durumunda sonuç 0’dır, diğer her durumda 1’dir. |
| Ancak ve Ancak | \Leftrightarrow | Aynılık sever. Her iki önerme de aynıysa (1-1 veya 0-0) sonuç 1 olur. |
3. Koşullu Önerme (İse – \Rightarrow) ve Değişimleri
Sınavlarda en çok “İse” bağlacı sorulur. p \Rightarrow q önermesi verildiğinde şu dönüşümleri bilmen şart:
-
Veya’ya Çevirme: p \Rightarrow q \equiv p' \vee q (Birincinin değilini al, veya koy, ikinciyi aynen yaz.)
-
Karşıtı: q \Rightarrow p (Yer değiştir.)
-
Tersi: p' \Rightarrow q' (Değillerini al.)
-
Karşıt Tersi: q' \Rightarrow p' (Hem yer değiştir hem değilini al. Not: Bir önerme karşıt tersine daima denktir!)
4. Niceleyiciler (Her ve Bazı)
Matematiksel cümleleri sembollerle ifade etmemizi sağlayan araçlardır:
-
Her (\forall): “Evrensel Niceleyici”. Belirtilen kümedeki tüm elemanların bu özelliği taşıması gerekir. (Hepsi sağlamalı!)
-
Bazı (\exists): “Varlıksal Niceleyici”. Belirtilen kümede bu özelliği taşıyan en az bir eleman olması yeterlidir.
Önemli: Bir ifadenin değilini alırken;
-
\forall sembolü \exists sembolüne dönüşür.
-
= sembolü \neq sembolüne dönüşür.
-
< sembolü \ge sembolüne dönüşür.
5. Totoloji ve Çelişki
-
Totoloji: Doğruluk değeri her zaman 1 çıkan bileşik önermelerdir. (Örn: p \vee p' \equiv 1)
-
Çelişki: Doğruluk değeri her zaman 0 çıkan bileşik önermelerdir. (Örn: p \wedge p' \equiv 0)
Sınav Taktik Sorusu:
p \Rightarrow (q \vee r) \equiv 0 olduğuna göre p, q ve r değerlerini bulunuz.
Çözüm:
“İse” bağlacında sonucun 0 çıkması için tek bir ihtimal vardı: 100 kuralı.
-
Sol taraf (p) kesinlikle 1 olmalı.
-
Sağ taraf (q \vee r) kesinlikle 0 olmalı.
- “Veya” bağlacında sonucun 0 olması için her iki tarafın da 0 olması gerekir. O halde q = 0 ve r = 0.
Cevap: 1, 0, 0
Ödev sorusu: [ (p \vee q')' \wedge (p \wedge q) ]'
Yukarıdaki bileşik önermenin en sade hali nedir?
Yorumlara cevabını bekleriz…
